حل تمرین صفحه 104 حسابان یازدهم

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۱ صفحه ۱۰۴ حسابان یازدهم سلام! برای محاسبه این نسبت‌ها، از **روابط زوایای مرجع**، **روابط زوایای قرینه** و **تبدیلات زوایای بزرگ** استفاده می‌کنیم. 🎯 --- ### الف) $\sin (۳۰۰^{\circ})$ * **تکنیک**: $۳۶۰^{\circ} - \alpha$. ربع چهارم (سینوس منفی). $$\sin (۳۰۰^{\circ}) = \sin (۳۶۰^{\circ} - ۶۰^{\circ}) = -\sin ۶۰^{\circ} = \mathbf{-\frac{\sqrt{۳}}{۲}}$$ --- ### ب) $\cot (۷۵^{\circ})$ * **تکنیک**: از روابط متمم استفاده می‌کنیم: $\mathbf{\cot \alpha = \tan (۹۰^{\circ} - \alpha)}$. $$\cot (۷۵^{\circ}) = \tan (۹۰^{\circ} - ۷۵^{\circ}) = \tan (۱۵^{\circ})$$ *(برای محاسبه دقیق، نیاز به فرمول‌های جمع زوایا داریم، اما در اینجا با همان $\mathbf{\cot (۷۵^{\circ})}$ ساده‌سازی شده، کافی است.)* --- ### پ) $\cos (-\frac{\pi}{۶})$ * **تکنیک**: کسینوس **تابع زوج** است: $\mathbf{\cos(-\alpha) = \cos \alpha}$. $$\cos (-\frac{\pi}{۶}) = \cos (\frac{\pi}{۶}) = \cos ۳۰^{\circ} = \mathbf{\frac{\sqrt{۳}}{۲}}$$ --- ### ت) $\cos (\frac{۲۳\pi}{۴})$ * **تکنیک**: زاویه بزرگتر از $۲\pi$. تقسیم بر $۲\pi$ (یا $\frac{۸\pi}{۴}$). $$\frac{۲۳\pi}{۴} = \frac{۲۴\pi - \pi}{۴} = ۶\pi - \frac{\pi}{۴}$$ * **هم‌انتها**: $۶\pi$ سه دور کامل است. زاویه هم‌انتها $-\frac{\pi}{۴}$ است. ربع چهارم (کسینوس مثبت). $$\cos (۶\pi - \frac{\pi}{۴}) = \cos (-\frac{\pi}{۴}) = \cos (\frac{\pi}{۴}) = \mathbf{\frac{\sqrt{۲}}{۲}}$$ --- ### ث) $\sin (\frac{۵\pi}{۳})$ * **تکنیک**: $۲\pi - \alpha$. ربع چهارم (سینوس منفی). $$\frac{۵\pi}{۳} = \frac{۶\pi - \pi}{۳} = ۲\pi - \frac{\pi}{۳}$$ $$\sin (۲\pi - \frac{\pi}{۳}) = -\sin (\frac{\pi}{۳}) = \mathbf{-\frac{\sqrt{۳}}{۲}}$$ --- ### ج) $\tan (-۸۴^{\circ})$ (مقدار تقریبی) * **تکنیک**: تانژانت **تابع فرد** است: $\mathbf{\tan(-\alpha) = -\tan \alpha}$. $$\tan (-۸۴^{\circ}) = -\tan (۸۴^{\circ})$$ *(برای مقدار دقیق، نیاز به ماشین حساب داریم.)* $$\tan (۸۴^{\circ}) \approx ۹.۵۱۴$$. $$\mathbf{\tan (-۸۴^{\circ}) \approx -۹.۵۱۴}$$ --- ### چ) $\tan (-۱۵^{\circ})$ (مقدار تقریبی) * **تکنیک**: تانژانت **تابع فرد** است. $$\tan (-۱۵^{\circ}) = -\tan (۱۵^{\circ})$$ *(مقدار دقیق $\tan(۱۵^{\circ}) = ۲ - \sqrt{۳} \approx ۰.۲۶۸$ است.)* $$\mathbf{\tan (-۱۵^{\circ}) \approx -۰.۲۶۸}$$ --- ### ح) $\cos (\frac{۹\pi}{۴})$ * **تکنیک**: زاویه بزرگتر از $۲\pi$. $\frac{۹\pi}{۴} = \frac{۸\pi}{۴} + \frac{\pi}{۴} = ۲\pi + \frac{\pi}{۴}$. * **هم‌انتها**: $\frac{\pi}{۴}$. ربع اول (کسینوس مثبت). $$\cos (۲\pi + \frac{\pi}{۴}) = \cos (\frac{\pi}{۴}) = \mathbf{\frac{\sqrt{۲}}{۲}}$$ --- ### خ) $\tan (\frac{۱۰\pi}{۳})$ * **تکنیک**: زاویه بزرگتر از $۲\pi$. $\frac{۱۰\pi}{۳} = \frac{۹\pi + \pi}{۳} = ۳\pi + \frac{\pi}{۳}$. * **هم‌انتها**: $۳\pi$ یک دور کامل و یک نیم‌دور است. $۳\pi = ۲\pi + \pi$. زاویه هم‌انتها $\pi + \frac{\pi}{۳}$ است. ربع سوم (تانژانت مثبت). $$\tan (\frac{۱۰\pi}{۳}) = \tan (\pi + \frac{\pi}{۳}) = \tan (\frac{\pi}{۳}) = \mathbf{\sqrt{۳}}$$

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۲ صفحه ۱۰۴ حسابان یازدهم سلام! این یک مسئله فیزیکی-ریاضی است که از **روابط مثلثاتی** برای مدل‌سازی **جذب انرژی خورشیدی** استفاده می‌کند. در اینجا، زاویه $\alpha$ زاویه تابش و $\theta$ زاویه بین صفحه و پرتوهای نور است. ☀️ ### الف) بازنویسی رابطه بر حسب $\cos \theta$ **۱. رابطه هندسی**: با توجه به شکل , زاویه‌های $\alpha$ و $\theta$ با هم $\mathbf{۹۰^{\circ}}$ (یا $\mathbf{\frac{\pi}{۲}}$) می‌سازند (چون پرتوها عمود بر سطح هستند). $$\mathbf{\alpha + \theta = \frac{\pi}{۲}} \implies \mathbf{\alpha = \frac{\pi}{۲} - \theta}$$ **۲. بازنویسی رابطه $I$**: با جایگذاری $\alpha$ در رابطه $I = k\sin (\frac{\pi}{۲} - \alpha)$: $$I = k\sin \left(\frac{\pi}{۲} - (\frac{\pi}{۲} - \theta)\right) = k\sin (\theta)$$ * **یا ساده‌تر**: از **روابط متمم** استفاده می‌کنیم: $\mathbf{\sin (\frac{\pi}{۲} - \alpha) = \cos \alpha}$. $$I = k\sin (\frac{\pi}{۲} - \alpha) = k \cos \alpha$$ **۳. رابطه بر حسب $\cos \theta$**: با توجه به $\alpha = \frac{\pi}{۲} - \theta$، $\cos \alpha$ را بر حسب $\cos \theta$ نمی‌توان نوشت. اما با توجه به رابطه متمم دیگر: $\mathbf{\cos \alpha = \sin \theta}$. پس: $$\mathbf{I = k \sin \theta}$$ **توجه**: اگر منظور سوال از زاویه $\theta$، زاویه بین پرتوها و خط **عمود** بر پنل بود، آنگاه $\mathbf{I = k \cos \theta}$ صحیح می‌شد. اما با توجه به شکل داده شده، $\mathbf{\alpha + \theta = \frac{\pi}{۲}}$ و $I = k \cos \alpha = k \cos (\frac{\pi}{۲} - \theta) = k \sin \theta$. $$\mathbf{\text{رابطه بازنویسی شده} = I = k \sin \theta}$$ --- ### ب) محاسبه شدت نور برای زوایای $\theta$ بر حسب $k$ * **برای $\theta = ۰$**: $$I = k \sin (۰) = k \times ۰ = \mathbf{۰}$$ * **برای $\theta = \frac{\pi}{۶}$ (۳۰ درجه)**: $$I = k \sin (\frac{\pi}{۶}) = k \times \frac{۱}{۲} = \mathbf{\frac{k}{۲}}$$ * **برای $\theta = \frac{\pi}{۳}$ (۶۰ درجه)**: $$I = k \sin (\frac{\pi}{۳}) = k \times \frac{\sqrt{۳}}{۲} = \mathbf{\frac{\sqrt{۳}}{۲}k}$$ --- ### پ) زاویه $\theta$ برای بیشترین شدت نور **۱. شرط بیشترین شدت**: بیشترین مقدار $I$ زمانی به دست می‌آید که $\mathbf{\sin \theta}$ (در رابطه $I = k \sin \theta$) به بیشترین مقدار خود برسد. **۲. بیشترین مقدار سینوس**: بیشترین مقدار تابع سینوس $\mathbf{۱}$ است (از دایره مثلثاتی). $$\mathbf{\sin \theta = ۱}$$ **۳. محاسبه $\theta$**: زاویه‌ای که سینوس آن برابر ۱ است، $\mathbf{\theta = \frac{\pi}{۲}}$ (یا $۹۰^{\circ}$) است. **۴. تفسیر (چرا؟)**: $$\mathbf{\theta = \frac{\pi}{۲}}$$ * **دلیل**: در این حالت، زاویه $\alpha$ (زاویه تابش) برابر $\alpha = \frac{\pi}{۲} - \theta = \frac{\pi}{۲} - \frac{\pi}{۲} = ۰$ می‌شود. * زاویه $\mathbf{\alpha = ۰}$ یعنی پرتوهای خورشید **عمود** بر صفحه پنل می‌تابند. بیشترین انرژی زمانی جذب می‌شود که پرتوها عمود بر سطح باشند. (زیرا $I_{max} = k \sin(\frac{\pi}{۲}) = k$).

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۳ صفحه ۱۰۴ حسابان یازدهم برای تعیین درستی یا نادرستی، از **روابط مثلثاتی زوایای مکمل** و **زوایای قرینه** استفاده می‌کنیم. ✅❌ --- ### الف) $\cos \theta + \cos (\pi - \theta) = ۰$ * **رابطه**: $\mathbf{\cos (\pi - \theta) = -\cos \theta}$ (روابط مکمل). * **محاسبه**: $\cos \theta + (-\cos \theta) = \cos \theta - \cos \theta = ۰$. * **نتیجه**: $\mathbf{درست \quad (\checkmark)}$ --- ### ب) $\sin (\frac{\pi}{۲} - \theta) + \cos \theta = ۱$ * **رابطه**: $\mathbf{\sin (\frac{\pi}{۲} - \theta) = \cos \theta}$ (روابط متمم). * **محاسبه**: $\sin (\frac{\pi}{۲} - \theta) + \cos \theta = \cos \theta + \cos \theta = ۲\cos \theta$. * **بررسی**: $۲\cos \theta$ تنها زمانی برابر ۱ است که $\cos \theta = \frac{۱}{۲}$ باشد ($\theta = \frac{\pi}{۳}$)، نه برای هر $\theta$. * **نتیجه**: $\mathbf{نادرست \quad (\times)}$ --- ### ج) $\cos (\gamma) = \cos (-\gamma)$ * **رابطه**: $\mathbf{\cos (-\alpha) = \cos \alpha}$ (تابع کسینوس **زوج** است). * **بررسی**: این عبارت، تعریف صحیح تابع زوج است. * **نتیجه**: $\mathbf{درست \quad (\checkmark)}$ --- ### د) $\tan (\pi - \theta) = \tan \pi - \tan \theta$ * **رابطه سمت چپ**: $\mathbf{\tan (\pi - \theta) = -\tan \theta}$ (روابط مکمل). * **رابطه سمت راست**: $\tan \pi = ۰$. پس $\tan \pi - \tan \theta = ۰ - \tan \theta = -\tan \theta$. * **محاسبه**: $- \tan \theta = - \tan \theta$. * **نتیجه**: $\mathbf{درست \quad (\checkmark)}$